一维随机游走
从原点开始,每次以概率 p 向右、1-p 向左走一步。p=0.5 时期望位置始终在原点。n 步后位置方差为 4np(1-p)。
Each step ±1. Expected position after n steps: n(2p-1).Pólya 定理
一维和二维:粒子最终返回原点的概率为 1(必然回归)!三维及以上:返回原点的概率 < 1。美丽的反直觉结果!
1D & 2D: return probability=1. 3D: <1!应用
股票价格建模(Bachelier 1900)、布朗运动(爱因斯坦1905)、Google PageRank、动物迁移模型。